第八十三章 古有夜郎八百里 可知汉家千万顷（下）
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我们听西方人评价中国数学，当然，他们会肯定许多无法被抹杀的事实，比如祖率，开方算法等等。但是总得来说，他们对中国数学还是有很深刻的歧视，说中国古代数学没有无理数概念，没有三角函数计算概念，所以能够进行的计算是很初步的。
呸~
在本文正文里已经说过，中国的算经注重计算，而且体系独立，在概念上和西方完全是两套方案。西方的现代数学，是用了古希腊的词汇定义发展的，你觉得他们概念准确用词准确，那是因为原生语言优势。就像之前笔者曾经提过的，《几何原本》是原本吗？完全是用现代语言重翻的古希腊书籍。
中国确实没有明确提出过“无理数”这么一个概念。但是无理数的数学危机，一直到十九世纪末西方才有定论，最先发现无理数的人，被当做异端扔到海里喂鱼了！如果因为一个被世人抛弃的小众学者的发现就认为西方率先掌握无理数，那么是不是可以说中国的“宣夜说”证明中国已经掌握了宇宙的真相？是不是可以以《酉阳杂俎》证明中国率先登月？但是中国确确实实掌握了平方开方的算法，而且在《九章算术》中有整整一章的开方例题。不但平方，立方也可开。本文只举一例：
《九章算术•少广》又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
答曰：六万三千二十五步。
开方术曰：……具体开方算法。
开方，在九章算术中作为基本算法之一。开平方和立方的筹算到了祖冲之时期已经相当成熟。《九章算术》相当于古代六艺数之一道的初中教材（这个后面还会讲）。所以讨论类似根号二问题，在中国太幼稚了，太幼稚！
关于三角函数，这样讲吧。中国数学没有采用刻度记角法，一直以来，采用的就是三角函数记角法。也就是勾股玄记角法。印度也同样没有。我们不讲那些模棱两可的说法，只看实质，勾股玄的本质不就是三角运算吗？
早在周朝《周髀算经》中，就有“勾股各自乘，并而开方除之”的说法。
《九章算术》曰：勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股。
这就是中国自己的三角函数定义，正弦=勾/弦，余弦=股/弦……类推。用勾股玄可以表达所有三角函数，可以用这些三角函数值标注所有角的大小。我们有自己的定义，公式和运算方法，为什么要全盘照搬西方呢？你说中国没有掌握直角三角型之外的解析几何应用？拜托，解析几何鼻祖笛卡尔是十七世纪数学家，和公元一世纪的张苍，耿寿昌对比是不是有点略失公平？
中国关于三角关系的应用在测量学中大放异彩。美国数学家Frank J. Swetz在看过刘徽所著《海岛算经》的时候说，“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年。”是的，因为他们在一千年后才真正掌握三角复杂计算。三角学传入中国的时候，中西方学者普遍认为，汤若望，徐光启的《大测》并没有超越《海岛算经》的内容。举一道海岛算经例题：
今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？答曰：一丈二尺。
术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。
这道例题可以看懂，高中古文，三角，几何，全部毕业。由于不画图，无法讲解这道题，所以关于这道题的具体算法，大家只能自行百度了。
这《海岛算经》在古代数学教材中属于什么水平呢？和九章算术一样，也是初中教材。这节已经有点长了，关于古代数学教材，古代计数法和神奇的《缀术》那些事，我们下一章再说。
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我们听西方人评价中国数学，当然，他们会肯定许多无法被抹杀的事实，比如祖率，开方算法等等。但是总得来说，他们对中国数学还是有很深刻的歧视，说中国古代数学没有无理数概念，没有三角函数计算概念，所以能够进行的计算是很初步的。
呸~
在本文正文里已经说过，中国的算经注重计算，而且体系独立，在概念上和西方完全是两套方案。西方的现代数学，是用了古希腊的词汇定义发展的，你觉得他们概念准确用词准确，那是因为原生语言优势。就像之前笔者曾经提过的，《几何原本》是原本吗？完全是用现代语言重翻的古希腊书籍。
中国确实没有明确提出过“无理数”这么一个概念。但是无理数的数学危机，一直到十九世纪末西方才有定论，最先发现无理数的人，被当做异端扔到海里喂鱼了！如果因为一个被世人抛弃的小众学者的发现就认为西方率先掌握无理数，那么是不是可以说中国的“宣夜说”证明中国已经掌握了宇宙的真相？是不是可以以《酉阳杂俎》证明中国率先登月？但是中国确确实实掌握了平方开方的算法，而且在《九章算术》中有整整一章的开方例题。不但平方，立方也可开。本文只举一例：
《九章算术•少广》又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
答曰：六万三千二十五步。
开方术曰：……具体开方算法。
开方，在九章算术中作为基本算法之一。开平方和立方的筹算到了祖冲之时期已经相当成熟。《九章算术》相当于古代六艺数之一道的初中教材（这个后面还会讲）。所以讨论类似根号二问题，在中国太幼稚了，太幼稚！
关于三角函数，这样讲吧。中国数学没有采用刻度记角法，一直以来，采用的就是三角函数记角法。也就是勾股玄记角法。印度也同样没有。我们不讲那些模棱两可的说法，只看实质，勾股玄的本质不就是三角运算吗？
早在周朝《周髀算经》中，就有“勾股各自乘，并而开方除之”的说法。
《九章算术》曰：勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股。
这就是中国自己的三角函数定义，正弦=勾/弦，余弦=股/弦……类推。用勾股玄可以表达所有三角函数，可以用这些三角函数值标注所有角的大小。我们有自己的定义，公式和运算方法，为什么要全盘照搬西方呢？你说中国没有掌握直角三角型之外的解析几何应用？拜托，解析几何鼻祖笛卡尔是十七世纪数学家，和公元一世纪的张苍，耿寿昌对比是不是有点略失公平？
中国关于三角关系的应用在测量学中大放异彩。美国数学家Frank J. Swetz在看过刘徽所著《海岛算经》的时候说，“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年。”是的，因为他们在一千年后才真正掌握三角复杂计算。三角学传入中国的时候，中西方学者普遍认为，汤若望，徐光启的《大测》并没有超越《海岛算经》的内容。举一道海岛算经例题：
今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？答曰：一丈二尺。
术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。
这道例题可以看懂，高中古文，三角，几何，全部毕业。由于不画图，无法讲解这道题，所以关于这道题的具体算法，大家只能自行百度了。
这《海岛算经》在古代数学教材中属于什么水平呢？和九章算术一样，也是初中教材。这节已经有点长了，关于古代数学教材，古代计数法和神奇的《缀术》那些事，我们下一章再说。